数值逼近  011M4009H

学期:2017—2018学年(秋)第一学期 | 课程属性:专业核心课 | 任课教师:周爱辉,许志强
授课时间: 星期三, 第5、6、7节
授课地点: 教1-225
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
课程编号: 011M4009H 课时: 40 学分: 3.0
课程属性: 专业核心课 主讲教师:周爱辉,许志强
英文名称: Numerical Approximation

教学目的、要求

本课程为计算数学专业硕士研究生的专业基础课,同时也可作为信号处理、计算机图形学相关专业研究生的选修课。本课程主要介绍数值逼近的数学基础和计算方法以及当前的发展趋势。通过本课程的学习,希望学生掌握逼近中的基本思想与方法。

预修课程

高等数学、线性代数

教 材

王仁宏,数值逼近,高等教育出版社,1999年。

主要内容

1、Weierstrass 逼近定理与卷积逼近  (2学时,教学重点与难点)
 1.1 Weierstrass 逼近定理介绍及证明
 1.2 好核
 1.3 卷积逼近 

2、卷积逼近的应用 (2学时)
 2.1 卷积逼近方法证明Weierstrass 逼近定理
 2.2 卷积逼近方法证明Fejer-Cesaro定理

3、多项式插值 (2学时)
 3.1 Lagrange 插值公式
 3.2 Newton 插值公式 . 
 3.3 多项式插值的误差

4、差商  (2学时,教学重点与难点)
 4.1 差商的三种定义方式
  4.1.1 递归定义
  4.1.2 多项式插值首项系数定义
  4.1.3 显式表达公式定义
 4.2 差商的性质
 4.3 差商中的公开问题
 
5、多元多项式插值 (2学时)
 5.1 Lebesgue常数
 5.2 插值算子
 5.3 Bezout定理与Haar 定理
 5.4 二元多项式插值点构造
 5.5 多元多项式插值中的公开问题
 
6、 范数下的最佳逼近 (2学时)
 6.1 Kolmogorov 最佳逼近定理
 6.2 Chebyshev 定理
 6.3 Chebyshev 多项式

7、 范数下的最佳逼近 (2学时)
 7.1 直交多项式
 7.2 广义Fourier级数与Bessel 不等式
 7.3 范数下的最佳逼近与压缩感知
     
8、Pade 逼近 (2学时)
 8.1 Pade逼近定义及基本理论
 8.2 Frobenius-Pade 定理
 8.3 加速收敛算法
       
9、样条函数 (2学时)
 9.1 单变量样条函数定义
 9.2 单变量样条函数空间及维数 
 9.3 自然样条函数及性质
 9.4 B-样条函数
  9.4.1 截断幂插商观点
  9.4.2 卷积观点
  9.4.3 Fourier变换观点
      
10、非均匀样条函数 (2学时)
 10.1 非均匀B-样条函数递归公式
 10.2  Schoenberg-Whitney定理
  
11、多变量样条函数 (2学时,教学难点)
 11.1 B-样条函数多元推广
 11.2 任意三角剖分上样条函数
 11.3 多变量样条函数维数
 
12、Bezier曲线与B-样条曲线 (2学时)
 12.1 Bezier曲线及性质
 12.2 B-样条曲线及性质
 
13、NURBS曲线、曲面 (2学时)
 13.1 NURBS曲线定义
 13.2 NURBS 曲线性质
 13.3 NURBS 曲线与B-样条曲线关系
 13.4 NURBS曲面及性质
 
14、数值积分(I)(2学时)
 14.1 数值积分背景介绍
 14.2 插值型求积公式及误差
 14.3 Simpson求积公式
 14.4 Romberg 方法

15 数值积分 (II) (2学时)
 15.1 Gauss型求积公式
 15.2 Gauss公式和Mehler公式
 15.3 Euler-Maclaurin公式

16、快速Fourier变换 (2学时)
 16.1 多项式两种表示方式
 16.2 多项式插值点的选择与快速计算
 16.3 离散Fourier变换
 16.4 快速Fourier 变换
 16.5 快速Fourier变换复杂性

17、采样定理 (2学时)
 17.1 频率有限函数空间
 17.2 Sinc 函数及性质
 17.3 Shannon 采样定理
 17.4 过采样与框架
   
18、框架 (I) (2学时)
 18.1 框架的定义
 18.2 伪逆
 18.3 对偶框架
   
19、框架 (II) (2学时)
 19.1 Riesz基
 19.2 逆框架计算
 19.3 框架投影与减噪
 19.4 框架在量化中的应用

20、Gabor框架和小波框架 (2学时)
 20.1 Gabor框架定义
 20.2 Gabor框架的对偶框架
 20.3 Gabor框架中的公开问题
 20.4 小波框架定义
 20.5 小波框架的对偶框架

参考文献