基础代数几何Ⅲ  011D9084Z*

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:其它 | 任课教师:胥鸣伟
授课时间: 星期一, 第3、4节
授课地点: N413
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20
授课时间: 星期三, 第3、4节
授课地点: N413
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20
课程编号: 011D9084Z* 课时: 80 学分: 4.0
课程属性: 其它 主讲教师:胥鸣伟
英文名称: Basic Algebraic geometry III

教学目的、要求

本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的基础课,同时也可作为数学和其它相关学科(理论物理、信息...)的高年级学生和研究生的选修课.
    现在要教的这门代数几何是以交换代数和上同调等为基本工具来研究代数簇及概型的学科,而不涉及在复域上利用复几何和复分析的超越方法(这方面可参看Griffiths 和
Harris的 《Principles of Algebraic Geometry》). 它为现代数论, 代数,和几何提供基本必要的语言和一些基本技术.
    Hartshorne 的《代数几何(Algebraic Geometry)》是一本公认的代数几何方面的经典著作,一本非常好的教科书;另一本好书是Shafarevich 的 《Basic Algebraic
Geometry》。 我将以Hartshorne的书为本课的基本参考书并辅以Shafarevich的书来讲解相关理论,在课前或课后给出相应的讲义.
    同时以鼓励学生完成各类习题(如果有条件,甚至报告专题)的方式来启迪学生的思维,力求使学生领会和吸收知识中的精髓,掌握由Grothendieck发展起来的概型的语言,方法,和思想。
    本课第一学期基本上涵盖了Hartshorne的第三章的内容, 第IV和V章的部分内容, 以及相交理论.
    我的讲法更多地建立在几何的背景而不是数论的背景上,对后者感兴趣的可参看Liuqing的书 (见参考书[4])。

要求:
1. 具有抽象代数的基本知识(群、环、域);原则上对交换代数不作事先要求,但要在课程中同时学习它, 以Atiyah和Macdonald的《Introduction to Commutative Algebra》为基本教材。
2.具有对复变函数和微分流形,代数拓扑的一些基础知识, 换句话说,要有基本的数学素养。
3.我在课前或课后有讲义,不要求做笔记,尽可能在课堂上将概念,定理的背景,目的以及证明的思路弄清楚, 一般的证明(除了重要的以外)在课上只写出概要,希望(至少在一段时间以后), 听课者要在课后自己动笔和仔细看书和我的讲义. 希望能逐步适应这种讲课方式。
4. Hartshorne 书的每节后面都附有大量的习题,包含了许多精华 (实际上几乎涵盖了EGAI,II的主要内容),只有把这些习题的大部分做了,才能深入了解课文和代数几何.建议尽力去做,能自行组织个习题讨论班最好.
5.学过Hartshorn的第一, 二章或我的课程I,II. 否则无法听懂III.

预修课程

抽象代数, 复变函数, 以及微分流形方面的基本概念与我的前期课``基础代数几何I和II

教 材

自编. 课后(或课前)有相应的讲义.

主要内容

第四章: 层的上同调理论,  Cech上同调, 对偶定理.
第五章: 上同调理论的应用:曲线曲面的黎曼—洛赫定理, Weiestrass点,  平坦概形族, Bertini定理, 上同调的底扩张定理,  Zariski主定理以及
Stein分解, 等.
第六章: 相交论, 陈类, 应用.

参考文献