微分几何  011M1004Y

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:段海豹,焦晓祥
授课时间: 星期一, 第1、2节
授课地点: 教204
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
授课时间: 星期三, 第1、2节
授课地点: 教204
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
课程编号: 011M1004Y 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:段海豹,焦晓祥
英文名称: Differential Geometry

教学目的、要求

本课程为数学学科基础数学专业几何拓扑方向博士、硕士研究生的核心课程,同时也可作为应用数学、理论物理等相关专业研究生的选修课。近代微分几何的范围很广,本课程主要介绍黎曼流形及子流形的几何。
通过本课程的学习,希望学生能掌握近代微分几何的基本概念和基本技巧,对微分几何的近代发展有所了解,为进一步学习现代数学和从事专业研究打下基础。

预修课程

高等数学、线性代数、曲线和曲面论、点集拓扑、微分流形。

教 材

主要内容

第一章 联络和曲率
(1)仿射联络;R^n及子流形上的联络;流形上的仿射联络;挠率和曲率。
(2)黎曼度量; 黎曼联络;黎曼几何基本定理;共变微分。
(3)黎曼曲率;常曲率空间;共形变换。
(4)Hodge星算子; Laplace-Beltrami算子;Hodge定理及其几何应用。
第二章 测地线及其应用
(1)测地线;指数映射;法坐标;测地完备性。
(2)弧长的第一、第二变分公式;Jacobi场;共轭点。
第三章 黎曼子流形
(1)等距浸入,基本方程,活动标架,常曲率空间的子流形。
(2)超曲面的基本公式及其应用,主曲率,欧氏空间的超曲面。
(3)体积的变分,欧氏空间的极小子流形,球面上的极小子流形,Simons不等式。

参考文献