黎曼曲面  011M1006Y

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:周向宇,邓富声
授课时间: 星期三, 第10、11节
授课地点: 教404
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
授课时间: 星期一, 第10、11节
授课地点: 教404
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
授课时间: 星期一, 第10、11节
授课地点: 教404
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
授课时间: 星期三, 第10、11节
授课地点: 教404
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
课程编号: 011M1006Y 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:周向宇,邓富声
英文名称: Riemann Surfaces

教学目的、要求

本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业基础课。黎曼曲面是分析、几何与代数的交汇点,是现代数学诸多重要领域如代数几何、多复变、自守函数论、微分几何、几何分析、李群、代数数论、调和分析、偏微分方程和拓扑学等的出发点或基础。该课程主要介绍黎曼曲面论中一些重要的思想、方法和定理,主要包括全纯、亚纯映射,分歧覆盖,解析层上同调,Riemann-Roch定理及其应用,Serre对偶定理,Hodge定理,Abel定理、Jacobi反演定理,消没定理,嵌入定理,单值化定理,Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理等。通过该课程的学习,希望学生较好地掌握与理解黎曼曲面的思想、方法与内容,为进一步学习和研究现代数学的一些重要分支打下坚实基础。

预修课程

微分流形,复分析,代数拓扑

教 材

主要内容

第一章 黎曼曲面与代数拓扑基础
黎曼曲面的定义以及典型例子,全纯映照的基本性质,亚纯函数的定义;曲线的同伦,基本群;分歧和非分歧覆盖映射;万有覆盖和覆盖变换;全纯,亚纯微分形式的定义;留数和留数定理; 预层,层,芽,茎的定义,上同调群,Leray定理,简单同调群的计算;层的正合序列,连接同态。

第二章 解析延拓与黎曼曲面
历史、概念与例子;复结构;代数函数的(具体)黎曼面与(抽象)黎曼面,Monodromy定理,全纯域,全纯函数芽层;Kähler度量及曲率;单连通黎曼面上的常曲率度量、群作用、自同构群,对称空间。

第三章 紧Riemann面
Riemann-Roch定理应用,Serre对偶定理, Riemann-Hurwitz公式,紧Riemann面上的全纯微分式;除子与线丛,切丛与典则丛;除子类群与Picard群;全纯线丛的度量、联络、曲率、陈类与度数,Gauss-Bonnet定理,正定线丛;次调和函数,流动形(current),线丛的奇异度量与曲率*;Mittag-Leffler问题;Dolbeault定理;调和微分形式, Hodge定理;Abel定理,相交数;周期矩阵,Picard簇与Jacobi簇,Jacobi反演定理;Weierstrass点与全纯自同构群,Hurwicz定理;有限性定理;Serre对偶定理;正线丛与消没定理,射影嵌入定理;光滑代数曲线,Riemann-Hurwicz公式,亏格公式,Weierstrass空隙定理;奇异代数曲线;椭圆函数,椭圆曲线,模形式;theta函数,L-函数,自守函数;Teichmüller空间及模空间,黎曼球面上复结构的唯一性,复环面上复结构与j-不变量。
 
第四章 非紧Riemann面
Riemann面上的调和函数与Dirichlet边值问题;解Dirichlet边值问题的Perron方法,       变分法与Brown运动法*;带边紧黎曼面,格林函数;单值化定理;Riemann面的可数拓扑基问题,Rado定理;Weyl引理;Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理;Behnke-Stein定理,Runge定理;Klein群和Fuchs群;全纯线丛和向量丛的平凡性。

参考文献

1. Otto Forster,Lectures on Riemann Surfaces, GTM 81,Springe-Verlag 1981。
2. H.M.Farkas,I.Kra,Riemann Surfaces,GTM Vol.71,Springe-Verlag,1980。
3. L.V.Ahlfors,L.Sario,Riemann Surfaces,Princeton,1960。
4. Griffiths, Harris, Principle of algebraic geometry, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1978。