实分析  011M1009H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:周向宇,燕敦验
授课时间: 星期五, 第5、6、7节
授课地点: 教1-313
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14
课程编号: 011M1009H 课时: 50 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:周向宇,燕敦验
英文名称: Real Analysis

教学目的、要求

本课程为数学学科各专业硕士研究生、博士研究生的专业核心课,同时也可作为理论物理专业研究生的选修课。本课程主要内容讨论抽象测度空间上的勒贝格积分理论,空间理论,测度、微分、乘积空间的积分以及分析领域中的几个重要变换理论等。 通过本课程的学习,要求学生能够掌握近代实分析的基本概念、方法与技巧,为进一步学习近代数学和从事数学研究打下坚实的基础。

预修课程

数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑

教 材

自编讲义

主要内容

第一章 抽象积分理论. 可测函数、简单函数及可积函数的基本概念,积分的基本性质,可积函数列及收敛性、几乎处处收敛,Fatou引理,控制收敛定理。8学时,教学重点:可积函数列及收敛性,Fatou引理;难点:控制收敛定理。
 第二章 正 Borel 测度. Riesz表示定理,Borel 测度的正则性,Lebesgue 测度,可测函数的连续性,Lusin 定理。8学时,教学重点:Riesz表示定理;难点:Riesz表示定理,Borel 测度的正则性,Lusin 定理。
 第三章 Lp 空间. 凸函数,Jensen 不等式,Holder 不等式,Minkowski 不等式,函数列依测度收敛、依范数收敛,连续函数与逼近。2学时,教学重点:Jensen 不等式;难点:Holder 不等式,Minkowski 不等式。
 第四章 复测度. 全变差,绝对连续性,Radon-Nikodym 定理极其推论。6学时,教学重点:Radon-Nikodym 导数;难点:Radon-Nikodym 定理极其推论。
 第五章 微分. 测度的导数,Hardy-Littlewood 极大函数,微积分基本定理,可微变换。8学时,教学重点:测度的导数,Hardy-Littlewood 极大函数;难点:微积分基本定理,可微变换。
 第六章 乘积空间的积分. 乘积空间的测度,Fubini定理,乘积测度的完备化,卷积,分布函数。 8学时,教学重点:Fubini定理;难点:卷积,分布函数。
 第七章 Fourier变换. 一维欧氏空间上的Fourier变换的基本性质, Fourier变换的反演定理, Plancherel 定理。6学时,教学重点:Fourier变换的反演定理;难点:Plancherel 定理。 
 复习 2学时,考试 2学时.

参考文献