实分析  011M1009H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:周向宇,燕敦验
授课时间: 星期五, 第5、6、7节
授课地点: 教1-313
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18
授课时间: 星期五, 第5、6、7节
授课地点: 教1-313
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18
课程编号: 011M1009H 课时: 50 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:周向宇,燕敦验
英文名称: Real Analysis

教学目的、要求

本课程为数学学科各专业硕士研究生、博士研究生的专业核心课,同时也可作为理论物理专业研究生的选修课。本课程主要内容讨论抽象测度空间上的勒贝格积分理论,空间理论,测度、微分、乘积空间的积分以及分析领域中的几个重要变换理论等。 通过本课程的学习,要求学生能够掌握近代实分析的基本概念、方法与技巧,为进一步学习近代数学和从事数学研究打下坚实的基础。

预修课程

数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑

教 材

自编讲义

主要内容

第一章 抽象积分理论. 可测函数、简单函数及可积函数的基本概念,积分的基本性质,可积函数列及收敛性、几乎处处收敛,Fatou引理,控制收敛定理。8学时,教学重点:可积函数列及收敛性,Fatou引理;难点:控制收敛定理。
 第二章 正 Borel 测度. Riesz表示定理,Borel 测度的正则性,Lebesgue 测度,可测函数的连续性,Lusin 定理。8学时,教学重点:Riesz表示定理;难点:Riesz表示定理,Borel 测度的正则性,Lusin 定理。
 第三章 Lp 空间. 凸函数,Jensen 不等式,Holder 不等式,Minkowski 不等式,函数列依测度收敛、依范数收敛,连续函数与逼近。2学时,教学重点:Jensen 不等式;难点:Holder 不等式,Minkowski 不等式。
 第四章 复测度. 全变差,绝对连续性,Radon-Nikodym 定理极其推论。6学时,教学重点:Radon-Nikodym 导数;难点:Radon-Nikodym 定理极其推论。
 第五章 微分. 测度的导数,Hardy-Littlewood 极大函数,微积分基本定理,可微变换。8学时,教学重点:测度的导数,Hardy-Littlewood 极大函数;难点:微积分基本定理,可微变换。
 第六章 乘积空间的积分. 乘积空间的测度,Fubini定理,乘积测度的完备化,卷积,分布函数。 8学时,教学重点:Fubini定理;难点:卷积,分布函数。
 第七章 Fourier变换. 一维欧氏空间上的Fourier变换的基本性质, Fourier变换的反演定理, Plancherel 定理。6学时,教学重点:Fourier变换的反演定理;难点:Plancherel 定理。 
 复习 2学时,考试 2学时.

参考文献

1. 程民德,邓东皋,龙瑞麟, 实分析, 高等教育出版社 2008.
2. 陆善镇,王昆扬,实分析,北京师范大学出版社,2006.
3. R. L. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral, An Introduction to Real Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, 1977.
4. G. B. Folland, Real Analysis,John Wiley & Sons,New York, 1984.