椭圆与抛物型偏微分方程  011M4015H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:专业核心课 | 任课教师:曹道民,韩丕功
授课时间: 星期二, 第9、10、11节
授课地点: 教1-417
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
授课时间: 星期一, 第9、10、11节
授课地点: 教1-417
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
授课时间: 星期一, 第9、10、11节
授课地点: 教1-417
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
授课时间: 星期二, 第9、10、11节
授课地点: 教1-417
授课周次: 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
课程编号: 011M4015H 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 专业核心课 主讲教师:曹道民,韩丕功
英文名称: Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations

教学目的、要求

本课程为偏微分方程、数值分析理论及与此有关的学科领域的硕士生或博士生的学科基础课。本课程的主要内容为二阶线性椭圆与抛物型偏微分方程的基础理论,比较详细地介绍了二阶线性椭圆与抛物型偏微分方程古典解、弱解的存在性、唯一性及正则性理论等。通过对本课程的学习,希望学生能掌握二阶线性椭圆与抛物型偏微分方程的基本概念、方法和技巧,为进一步研究偏微分方程、数值分析及与此有关的学科打下坚实的基础, 并为完成这些领域的学位论文提供理论支持。

预修课程

数学物理方程、泛函分析初步、偏微分方程概论

教 材

Qing Han, Fanghua Lin,  Elliptic Partial Differential Equations

主要内容

第一章  调和函数及其性质(共13学时)“教学重点”

1.1   调和函数的定义;1学时

1.2   平均值定理;2学时

1.3   sup u 的估计;2学时

1.4   inf u的估计;3学时

1.5   Hanack不等式;3学时

1.6   Holder估计;2学时


第二章  线性方程的L2理论(共6学时)

2.1   解Poisson方程的变分方法;共1学时

2.1.1    泛函的极值元;0.5学时

2.1.2    弱解的存在唯一性;0.5学时


2.2    一般线性方程的L2理论;共5学时

2.2.1   Lax-Milgram定理及应用;1学时

2.2.2   弱解的定义及存在性;1学时

2.2.3   Fredholm定理及应用;1学时

2.2.4   弱解的正则性;2学时

第三章  线性方程的Schauder理论(共12学时)“教学重点与难点”

3.1    Holder空间;1学时

3.2    位势方程解的Schauder估计;2学时

3.3    Schauder内估计;2学时

3.4    Schauder近边及全局估计;3学时

3.5    古典解的弱极值原理;2学时

3.6    第一边值问题的可解性;2学时

第四章 线性方程的Lp理论(共16学时)“教学重点与难点”

4.1    Marcinkiewicz 内插不等式;2学时

4.2    分解引理;2学时

4.3    位势方程解的估计;2学时

4.4    W2p 内估计;2学时

4.5  W2p 全局估计;3学时“教学重点”

4.6  连续性方法;2学时

4.7  W2p 解的存在性;3学时“教学重点”


第五章  De Giorgi-Nash 估计(共13学时)“教学重点与难点”

5.1   弱解的局部性质;3学时

5.2   内部 Holder 连续性;5学时

5.3   全局 Holder 连续性;5学时

参考文献

1. 陈恕行,《现代偏微分方程导论》,科学出版社,2005. 
2. L. C. Evans,Partial Differential Equations, AMS,2002.