随机分析  012M1004H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:巩馥洲,李向东
授课时间: 星期三, 第3、4节
授课地点: 教1-219
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
授课时间: 星期一, 第5、6、7节
授课地点: 教1-219
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
授课时间: 星期一, 第5、6、7节
授课地点: 教1-219
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
授课时间: 星期三, 第3、4节
授课地点: 教1-219
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
课程编号: 012M1004H 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:巩馥洲,李向东
英文名称: Stochastic Analysis

教学目的、要求

随机分析是现代数学中最活跃、最富有成果的分支之一, 与数学的其他分支及量子力学、统计力学、生命科学、经济、金融等诸多领域有着广泛和深刻的联系。本课程为概率专业硕士、博士研究生的专业基础课程和相关学科研究生的选修课程。开设本课程的目的,是使学生能全面地掌握鞅论、随机积分、Itô公式、随机微分方程、Malliavin变分计算等随机分析理论的基础知识,并对随机分析在偏微分方程与金融数学中的部分应用有所了解,为从事随机分析、概率论及相关学科的研究做必要的准备。

预修课程

高等概率论、随机过程、泛函分析、偏微分方程

教 材

自编

主要内容

第一章 鞅论
概率论回顾、条件期望、随机过程的可测性(停时,适应过程,循序可测过程),离散鞅论(基本概念、鞅不等式、停时、收敛定理),连续时间鞅论。

第二章 Brown运动
Brown运动的定义,Brown运动的分布性质及轨道性质,随机游动、Brown运动的Levy构造、Donsker不变性原理。

第三章 随机积分与Itô公式
连续平方可积鞅、连续局部鞅以及连续半鞅的随机积分,平方变差过程。
Wiener积分、Itô积分,Itô公式,BDG不等式,Brown运动的Levy刻画、指数鞅和Girsanov定理,连续鞅的随机积分表示。

第四章 随机微分方程与扩散过程
随机微分方程解(强解、弱解)的定义、强解的存在唯一性,鞅问题,扩散过程与分布唯一性、局部时与Tanaka公式。

第五章 偏微分方程的概率方法
热方程Cauchy问题、Laplace方程与Poisson方程的Dirichlet问题概率解、Feynman-Kac公式、二阶椭圆算子的热核与Green函数

第六章 Black-Schoes 理论初步

第七章 Malliavin 变分计算初步

考核方式:闭卷考试 (时间三小时)

参考文献

1. D. Willams, Probability with Martingales,Cambridge, 1991. 
2. R. Bass, Probability Techniques in Analysis, Springer, 1995
3. H.P.Jr. McKean, Stochastic Integrals, AMS Chelsea Publishing, 1969. 
4. I.Karatzas and S.E.Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1991.
5. D. Revuz and M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Grund.Math.Wiss., 293, 3rd ed., Springer-Verlag, 1999.
6.N.Ikeda and S. Watanabe, Stochastic differential equations and diffusion processes, 2nd ed., North-Holland/Kodanska, 1989.
7. 何声武、汪嘉冈、严加安,半鞅与随机分析,科学出版社,1995.
8. 黄志远,随机分析学基础,第二版,科学出版社,2001.
9. 陈木法、毛永华,随机过程导论,高等教育出版社,2007.