随机分析  012M1004H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:巩馥洲,李向东
授课时间: 星期二, 第3、4节
授课地点: 教1-217
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
授课时间: 星期一, 第5、6、7节
授课地点: 教1-217
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13
课程编号: 012M1004H 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:巩馥洲,李向东
英文名称: Stochastic Analysis

教学目的、要求

随机分析是现代数学中最活跃、最富有成果的分支之一, 与数学的其他分支及量子力学、统计力学、生命科学、经济、金融等诸多领域有着广泛和深刻的联系。本课程为概率专业硕士、博士研究生的专业基础课程和相关学科研究生的选修课程。开设本课程的目的,是使学生能全面地掌握鞅论、随机积分、Itô公式、随机微分方程、Malliavin变分计算等随机分析理论的基础知识,并对随机分析在偏微分方程与金融数学中的部分应用有所了解,为从事随机分析、概率论及相关学科的研究做必要的准备。

预修课程

高等概率论、随机过程、泛函分析、偏微分方程

教 材

自编

主要内容

第一章 鞅论
概率论回顾、条件期望、随机过程的可测性(停时,适应过程,循序可测过程),离散鞅论(基本概念、鞅不等式、停时、收敛定理),连续时间鞅论。

第二章 Brown运动
Brown运动的定义,Brown运动的分布性质及轨道性质,随机游动、Brown运动的Levy构造、Donsker不变性原理。

第三章 随机积分与Itô公式
连续平方可积鞅、连续局部鞅以及连续半鞅的随机积分,平方变差过程。
Wiener积分、Itô积分,Itô公式,BDG不等式,Brown运动的Levy刻画、指数鞅和Girsanov定理,连续鞅的随机积分表示。

第四章 随机微分方程与扩散过程
随机微分方程解(强解、弱解)的定义、强解的存在唯一性,鞅问题,扩散过程与分布唯一性、局部时与Tanaka公式。

第五章 偏微分方程的概率方法
热方程Cauchy问题、Laplace方程与Poisson方程的Dirichlet问题概率解、Feynman-Kac公式、二阶椭圆算子的热核与Green函数

第六章 Black-Schoes 理论初步

第七章 Malliavin 变分计算初步

考核方式:闭卷考试 (时间三小时)

参考文献