高等分析基础  01MGX026H★

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:公共选修课 | 任课教师:孟钢
授课时间: 星期三, 第1、2节
授课地点: 教1-305
授课周次: 1、2、3、4、5、6
授课时间: 星期一, 第1、2节
授课地点: 教1-305
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
课程编号: 01MGX026H★ 课时: 40 学分: 1.5
课程属性: 公共选修课 主讲教师:孟钢
英文名称: Foundations of Advanced Analysis

教学目的、要求

本课程是数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识中的分析基础部分,专为数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识而开设,同时也可作为其它专业硕士研究生分析基础补修课程。通过本课程的学习, 希望学生掌握分析中一些理论基础和方法,为通过博士资格考试和进一步从事专业研究打好基础。

预修课程

数学专业大学本科基础课程

教 材

主要内容

第一章 集和直线上的点集
集合与集合的基本运算,映射与势,直线上的点集。
第二章 测度
集类,测度与外测度,Lebesgue测度。
第三章 可测函数
可测函数及其基本性质,可测函数的结构,可测函数列的收敛性。
第四章 Lebesgue积分
Lebesgue积分及其性质,积分的极限定理,重积分与累次积分。
第五章 复数基本概念
复数的代数运算及其几何性质, 复值函数, 函数沿曲线的积分, 解析函数定义,幂级数与收敛半径。
第六章 解析函数--分析观点
微分的观点:Cauchy-Riemann方程, 调和函数;积分的观点:Cauchy定理和Cauchy积分公式, Morera定理;二者链接:微积分基本定理;应用:Cauchy不等式与Liouville定理,代数学基本定理,解析函数的极限,Schwarz反射原理,Runge逼近定理, Montel定理, 解析映射的迭代与Schwarz引理。
*解析函数--Riemann的拓扑观点:代数函数的解析延拓,黎曼曲面,椭圆积分。
第七章 解析函数--代数观点:
解析函数的幂级数展开,开映射定理,极大模原理与Schwarz引理,唯一性定理, Weistrass乘积与Blaschke条件;解析函数元, 解析开拓与单值性定理,多值函数与黎曼面简介。
第八章 解析函数--代数观点(续):
解析函数的Laurent展开, 解析函数奇点分类,Picard(大,小)定理简介, 零点与极点计数-幅角原理, Rouche定理, 留数定理与一些奇异积分的计算。
第九章 解析函数--几何观点:
共形映射与区域的解析等价,保角映射,自同构群,圆盘与上半平面的共形映射,Schwarz引理与圆盘/上半平面的自同构群,调和函数的Poisson积分公式,Riemann映照定理与边界对应,多边形到圆盘的共形映射,Schwarz-Christoffel定理,椭圆函数简介;多连通区域分类简介。
第十章 赋范空间与Banach 空间
范数;有界线性算子;线性泛函;Hahn-Banach定理。
第十一章 内积空间与Hilbert 空间
内积;正交性;Riesz 表示定理;Bessel 不等式;Parseval 公式。
第十二章 赋范空间与Banach 空间上的线性算子
共鸣定理;开映射定理;闭图像定理。

参考文献