物理学中的微分几何和拓扑  021M2023H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科普及课 | 任课教师:高怡泓
授课时间: 星期五, 第5、6、7节
授课地点: 教1-217
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16
课程编号: 021M2023H 课时: 48 学分: 3.0
课程属性: 一级学科普及课 主讲教师:高怡泓
英文名称: Differential Geometry and Topology in Physics

教学目的、要求

本课程为物理学一级学科和其他相关专业研究生的专业普及课,主要学习在现代物理学研究中有着广泛应用的微分几何和拓扑等数学工具。重点掌握流形的拓扑与几何的基本概念,熟悉微分形式的运算、黎曼流形的度量、联络和曲率张量,并对同伦群和同调群、复流形、纤维丛、指标定理等知识有一定的了解。通过本课程的学习,希望学生在后继的相关学习和研究中能够熟练运用微分几何和代数拓扑的基本知识和方法。 

预修课程

多变量微积分、线性代数

教 材

《物理学家用微分几何》,侯伯元 侯伯宇著,科学出版社。

主要内容

一、导引:几何、拓扑与物理学(1课时)
教学目标:初步了解微分几何及代数拓扑学在物理中的应用
主要内容:(按课时内容分节)
1、本课程的一个引导性概述,以具体的例子讨论微分几何与拓扑在引力、粒子物理和凝聚态理论等领域的研究中所扮演的重要角色。

二、流形、微分流形与微分形式(3课时)
教学目标:理解流形的拓扑结构和微分结构,学会微分形式及其运算,掌握子流形的概念、Frobenius 定理和李导数
主要内容:(按课时内容分节)
1、流形的拓扑结构与微分结构,切空间和余切空间及其上的向量场;张量场
2、外微分、外代数和外导数;单参数群变换,李导数
3、子流形和 Frobenius 定理,辛流形、切触流形与正则变换
重点:微分流形的概念,向量场和张量场,外微分及其运算
难点:Frobenius 定理,辛流形和切触流形。

三、仿射联络、协变微分与曲率张量(3课时)
教学目标:掌握仿射联络、协变微分与曲率张量等基本概念和性质。
主要内容:(按课时内容分节)
1、仿射联络和协变微分,协变外微分
2、曲率2-形式及曲率张量;挠率,Cartan 结构方程
3、和乐群,可平行化流形
重点:仿射联络、曲率和挠率
难点:和乐群,可平行化流形

四、黎曼流形(5课时)
教学目标:黎曼流形是爱因斯坦引力理论的数学基础,这一单元较系统地讲解黎曼流形各种重要的几何性质。
主要内容:(按课时内容分节)
1、度规张量场,Hodge * 运算和余微分算子
2、黎曼联络和黎曼曲率张量
3、Killing 矢量和最大对称空间
4、标架场与自旋联络
5、活动标架法及其应用
重点:度规张量、黎曼联络和曲率张量
难点:活动标架在曲率等计算中的应用

五、流形的同伦群和同调群(5课时)
教学目标:了解同伦群和同调群的基本概念,掌握几种简单流形的同伦群和同调群的计算。
主要内容:(按课时内容分节)
1、流形的同伦型和同伦群,相对同伦群
2、单纯剖分与整同调群,上同调
3、一般同调群和普适系数定理
4、de Rham 上同调与调和形式
5、同伦群和同调群的关系
重点:同伦群,同调群的概念和基本性质
难点:单纯剖分、正合序列

六、群流形与对称空间(3课时)
教学目标:从微分流形的角度讨论李群,并学习在李群作用下具有对称性质的一类空间
1、群流形,不变向量场,李代数
2、齐次空间与对称空间
3、齐次空间的同伦群
重点:群流形,齐次空间,对称空间
难点:齐次空间的同伦群计算

七、复流形(4课时)
教学目标:了解复流形(特别是Kahler 流形)的基本几何结构
1、近复结构与复结构,复流形的定义
2、近 Hermite 流形和 Hermite 流形
3、Kahler 流形
4、Calabi-Yau 流形简介
重点:复流形,Kahler 流形
难点:Calabi-Yau 流形

八、纤维丛(4课时)
教学目标:纤维丛是规范场论的数学基础,本单元讲解纤维丛的基本概念及其上的联络与曲率。
1、纤维丛的一般概念;丛映射,丛的拉回和等价丛,同伦公理
2、向量丛;乘积丛与 Whitney和,张量丛
3、主丛与伴丛;Hopf 映射;主丛及伴丛上的联络
4、协变导数,水平提升和平行移动,和乐;曲率及 Bianchi 恒等式
重点:主丛、向量丛,以及丛上的联络和曲率
难点:Hopf 映射

九、示性类(5课时)
教学目标:讲解示性类的基本概念并讨论几种常见的示性类
1、不变多项式和 Chern–Weil 同态
2、Chern 类,Chern 特征与 Todd 类
3、Pontrjagin 类与 Euler 类,Hirzebruch L-多项式与 A-亏格
4、Stiefel-Whitney 类,自旋丛,Cech 上同调群
5、Chern-Simons 形式,扭结不变量
重点:常见的示性类
难点:Chern-Simons和扭结不变量

十、指标定理(5课时)
教学目标:介绍 Atiyah-Singer 指标定理,以及该定理在几种常见的复形上的推论。
1、椭圆算子与Fredholm 算子
2、椭圆复形与Atiyah-Singer 指标定理
3、de Rham 复形及 Dolbeault 复形的指标定理
4、Hirzebruch 符号;自旋复形与 Dirac 算子的指标
5、指标定理的超对称推导
重点:椭圆复形,Atiyah-Singer 指标定理
难点:指标定理的超对称推导

教学手段与方法:以ppt与板书结合的方式进行课堂教学,配合课堂提问的办法与学生互动交流,并适当安排答疑和习题课讲解(2课时)。
考核方式:平时作业成绩占20%,期末闭卷笔试占总成绩80%。

参考文献

《GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS》,M. Nakahara 著,第二版,IOP Publishing Ltd 2003。