星系动力学  031M4006H

学期:2017—2018学年(春)第二学期 | 课程属性:专业核心课 | 任课教师:陈大明,王乔
授课时间: 星期三, 第9、10、11节
授课地点: 教1-121
授课周次: 14
授课时间: 星期四, 第9、10、11节
授课地点: 教1-123
授课周次: 8、9、10、11、12、13、14、15、16、17
授课时间: 星期二, 第9、10、11节
授课地点: 教1-123
授课周次: 8、9、10、11、12、13、14、15、16、17
课程编号: 031M4006H 课时: 60 学分: 3.0
课程属性: 专业核心课 主讲教师:陈大明,王乔
英文名称: Galactic Dynamics

教学目的、要求

本课程应用牛顿运动定律和万有引力定律研究星系的势分布、各种引力势中的恒星轨道、无碰撞Boltzmann方程、分布函数、无碰撞系统的稳定性、盘动力学等,要求学生掌握和熟练运用势理论、恒星轨道理论和无碰撞Boltzmann方程,理解盘动力学等内容。星系动力学课程解答习题是关键和难点,习题的设计既是为了检验学生对概念的掌握情况和数学计算能力,也是为了直接衔接科研中遇到的实际问题。因此每次课程都会有适当数量和难度的习题要求学生解答。

预修课程

矢量分析、数学物理方法、理论力学、统计物理、流体力学

教 材

1. “Galactic Dynamics” by Binney & Tremaine (Princeton University Press,2nd,2007);
2.《星系动力学》(作者詹姆斯•宾尼和斯科特•特里梅因,宋国玄译,赵君亮校,上海科学技术出版社,2005年)。
3. 《力学》(第四版)下册《理论力学》梁昆淼原著,高等教育出版社,2009年。
4.  《星系动力学导论》初稿之第一章“绪论”、第二章“势论”,陈大明编写,电子版。

主要内容

1.绪论:宇宙学简介、数学基础、无碰撞系统和弛豫时标,(3学时)
1.1 宇宙学简介 
大爆炸宇宙学的历史和现状,星系动力学和宇宙学的关系。
1.2 无碰撞系统和弛豫时标
由大量恒星组成的星团、星系和星系团,其引力势可以当成是平滑分布的条件,恒星交会(encounter)的影响,都归结为弛豫时间的长短。
2.势论(1):一般理论和球对称系统,(3学时);教学重点。
2.1 一般理论
由牛顿引力理论导出Poisson 方程;由Poisson方程得到Gauss定理。由恒星的分散分布过渡到平滑分布,Dirac的delta函数,一般引力系统的势能表达式,
Chandrasekhar势能张量及其和势能的关系。
2.2 球对称系统
牛顿第一和第二定理的证明;应用牛顿的这两个定理得到球对称引力势和引力场的表达式;球对称情况下Chandrasekhar张量的对称性。点质量、均匀球产生的引力势,及其中恒星轨道方程。Plummer模型、等时势、修正的Hubble模型,以及幂率密度分布。
3.势论(2):扁平系统的势-密度对、多极展开;(3学时);教学重点。
3.1扁平系统的势-密度对
由Kuzmin模型的势分布,用Poisson方程和高斯定理求面密度;Kuzmin模型的推广;对数势。
3.2 多极展开
球坐标下Laplace方程的一般解,以此为基础求出均匀薄球壳内外势,用Gauss定理求出薄球壳的面密度。最后给出一般密度分布的天体在空间任意一点产生的势。
4.势论(3):椭球坐标系和同形体、椭球体的势(3学时);教学重点和难点。
4.1扁等轴坐标系(OSC)
引入扁等轴坐标系,研究其特性;该坐标系统下梯度算符和Laplace算符。
4.2 同形体及其产生的势。
同形体定理,牛顿第三定理。
4.3 旋转椭球体的势:可分割成无数同形体。
4.4 一般椭球:在旋转椭球的基础上进行推广,只给出结论和应用。
5.势论(4):盘的势(3学时)教学重点。
5.1 无限薄盘的势
无限扁平的均匀同形体产生的势;已知薄盘的面密度,将其分割成无限多的同形体,通过积分给出其在空间任意一点产生的势。赤道面上恒星的圆速度。
5.2 薄盘的例子
Mestel盘;指数盘;
5.3 Bessel函数表示的盘的势
求出柱坐标下Laplace方程的一般解;对应于每一对给定的特解 ,用高斯定理求出相应的面密度;把给定面密度分布用所得分量面密度展开,由此求出其在空间任意一点产生的势。应用到轴对称盘。
5.4 螺旋线面密度产生的势
这是Kalnajs(1971)提出的解决非轴对称势-密度对的方法。先给出盘的面密度在盘面上任意一点产生的势的一般表达式,然后给出螺旋线密度,并求出其产生的势。结果发现,其实螺旋线面密度给出的是一般面密度的傅里叶变换。由此就可以求出任意面密度在盘上任意一点产生的势展开形式。
5.5 由扁等轴坐标系得到的盘的势
这和用柱坐标系所用方法相同。
6.恒星轨道(1)分析力学简介 (3学时)
6.1 变分法和Lagrange方程
定义拉氏量,介绍变分法,得到Lagrange方程,应用到中心力场
6.2 Hamilton方程
拉氏量通过Legendre变换得到Hamilton量和Hamilton方程。引力势不随时间变化时,Hamilton量即轨道能量,是守恒量。应用到中心力场。
6.3 Noether定理和Poisson括号
7.恒星轨道(2):静态球对称势、截面法、轴对称势(3学时)。
7.1 静态球对称势
用Lagrange方程球对称势情况下运动方程,能量和角动量守恒。近心点和远心点。径向周期和方位角增量。均质球:球谐振子势;点质量:开普勒势。等时势。运动常数和运动积分。
7.2 截面法 
恒星轨道极少有解析解,相空间,相空间截面。第三孤立积分。
7.3柱坐标下的拉氏量,运动方程。能量和角动量的z分量守恒。有效势。子午面上的运动方程。角动量z分量给定时有效势最小值,此时恒星作圆周运动,导心半径。
8.恒星轨道(3):本轮近似、平面非轴对称势;(3学时)。教学重点。
8.1 本轮近似
有效势最小时恒星作圆周运动,以此圆周为原点展开有效势。本轮方程。本轮频率的求法,和径向周期的关系。
8.2 平面非轴对称势
以非轴对称对数势为例。圈形轨道和盒形轨道。相空间截面图中二者的区别。存在第二孤立积分。
9.恒星轨道(4): 二维转动势、弱棒(3学时)。教学难点。
9.1二维转动势
以固定角速度转动星系的拉氏量,Hamilton量,Jacobi积分。有效势,运动方程。有效势的驻点,轨道的稳定性。
9.2弱棒
用类似本轮近似研究弱棒。公转共振,Lindblad共振。
10.恒星轨道(5):Hamilton-Jacobi理论 (3学时)。教学重点和难点。
鉴于角度-作用量变量在星系动力学中的重要作用,这一讲详细介绍Hamilton-Jacobi理论。中文参考书是《力学》(第四版)下册《理论力学》梁昆淼原著,高等教育出版社,2009年。
11.恒星轨道(6):角度-作用量变量I  (3学时)。 教学难点。
11.1 二维谐振子情况;11.2 球对称势的角度-作用量变量。
12.恒星轨道(7):角度-作用量变量II  (3学时)。  教学难点。
12.1 扁平轴对称势的角度-作用量变量:Stackel势;12.2本轮近似;12.3 非转动棒的角度-作用量变量。
13.无碰撞系统的平衡;(3学时)。教学重点和难点。
13.1 流体力学简介;13.2 无碰撞Bolzmann方程;13.3 Jeans定理; 13.4 时间平均值定理。
14. 分布函数 (3学时)。
14.1 分布函数和各阶矩;14.2 球对称系统的分布函数I:各态历经;14.3 球对称系统的分布函数II:各向异性球对称系统的分布函数;14.4 常各向异性模型;14.5 Osipkov-Merritt模型;
15.给定分布的球对称系统和轴对称系统 (3学时)。教学重点
15.1 由分布函数定义的球对称系统;15.2 给定轴对称系统的分布函数。
15.3 Schwarzschild分布函数;15.4薄盘分布函数。
16. Jeans方程和位力方程 (3学时)。教学重点
16.1球状系统的Jeans方程;16.2轴对称系统的Jeans方程;16.3位力方程;16.4标量位力定理;16.5位力方程之球状系统;16.6张量位力定理和观测数据。
17.无碰撞系统的稳定性(1):均匀系统的响应(3学时)
17.1 复变函数理论简介;17.2线性响应理论;17.3恒星和流体系统的线性化方程;17.4Jeans不稳定性的物理基础;17.5均匀流体系统的响应;
18. 无碰撞系统的稳定性(2):恒星系统响应的一般理论 (3学时) 
18.1 恒星系统的金斯波长;18.2 恒星系统响应的一般理论;18.3 Kalnajs 矩阵法;18.4 响应矩阵;
19. 无碰撞系统的稳定性(3):能量原理和久期稳定性 (3学时)
19.1 流体系统的能量原理;19.2 恒星系统的能量原理;19.3 流体系统和恒星系统稳定性间的关系;19.4具有各态历经分布函数的球状系统稳定性;19.5各向异性球状系统的稳定性;19.6径向轨道不稳定性的物理基础;19.7 均匀转动的零厚度盘;19.8 Kalnajs盘。
20.盘动力学与旋涡结构 (3学时) 
20.1 旋臂的几何;20.2 逆-旋涡定理;20.3 旋臂矩所致角动量输运;
20.4 紧卷旋臂的色散关系;20.5 较差自转盘的局部稳定性。 

教学手段与方法:课程都用英文写ppt,中文授课;每一讲都列出内容概要,并在最后对内容关键点做总结。前16讲由陈大明主讲,其中每一讲都会给出若干习题。17-20讲由王乔主讲,没有习题。每一讲前都会预先上传课件,且每一讲都会指出下一讲的内容,要求学生预习。

参考文献