有限元方法的数学基础  070102M04002H

学期:2020—2021学年(春)第二学期 | 课程属性:专业核心课 | 任课教师:毛士鹏
授课时间: 星期一,第10、11 节
授课地点: 教一楼417
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
授课时间: 星期二,第3、4 节
授课地点: 教一楼417
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
课程编号: 070102M04002H 课时: 40 学分: 2.00
课程属性: 专业核心课 主讲教师:毛士鹏 助教:
英文名称: The Mathematical Bases of Finite Element Methods 召集人:

教学目的、要求

本课程是计算数学和应用数学硕士专业基础课。对于有限元方法这一重要工具,提供比较完整的数学基础, 同时稍微介绍一些有限元的前沿研究成果。本课程中凡是超出大学课程的数学内容,将给出较为详细的论述。如关于Sobolev空间理论及非线性泛函分析方面的内 容,将给出详细的结论,但一般不给出全面的证明,只是对较简单的特殊情形,给出较为初等的证明,以加强学生的理解。 
本课程授课对象主要面向数学专业研究生,要求学生能掌握有限元方法的基本思想和理论基础,为今后学习和科研工作打下坚实基础。

预修课程

偏微分方程基础、微分方程的计算方法、数值代数(或矩阵论)、泛函分析

教 材

王烈衡,许学军,《有限元方法的数学基础》,科学出版社,北京, 2004。

主要内容

第一章:变分原理和Sobolev空间 (10学时,重点)
可微二次凸泛函的极小化;不可微凸泛函的极小化; Sobolev空间;嵌入定理;迹定理,等价模定理,Bramble-Hilbert定理,Lax-Milgram定理。
第二章:椭圆型边值问题 (6学时)
二阶椭圆型边值问题;线弹性边值问题;四阶椭圆型边值问题。
第三章:有限元离散 (8学时,重点)
基本特性;三角形单元;矩形单元;四阶问题的协调有限单元。
第四章:协调有限元方法 (8学时,重点,难点)
收敛性的一般考虑;Sobolev空间中的分片多项式插值;多边形区域上的二阶问题的有限元误差分析;有限元空间中的反不等式。
第五章:非协调有限元法 (6学时)
抽象误差估计;二阶问题的非协调元;四阶问题的非协调元。
第六章: 有限元其他研究方向简介 (2学时)
混合有限元法,自适应有限元法; 多重网格方法与区域分解法等。

参考文献

1.P.G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978.
2.S.C. Brenner and C.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, 1994.
3.D. Braess, Finite Elements, Cambridge University Press, 2001.
4 A. Ern, and  J. L. Guermond, Theory and practice of finite elements 
Springer-Verlag, 2004