泛函分析  080900M01003H

学期:2020—2021学年(春)第二学期 | 课程属性:一级学科核心课 | 任课教师:孟钢
授课时间: 星期一,第3、4 节
授课地点: 教一楼214
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14
授课时间: 星期三,第3、4 节
授课地点: 教一楼214
授课周次: 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14
课程编号: 080900M01003H 课时: 50 学分: 3.00
课程属性: 一级学科核心课 主讲教师:孟钢 助教:
英文名称: Functional Analysis 召集人:

教学目的、要求

本课程为非数学专业硕士研究生的核心课程。希望通过本课程的学习,学生能够理解和掌握泛函分析中一些重要的概念和理论,了解泛函分析处理问题的方法和技巧,为从事应用数学的研究作好泛函分析知识的准备。

预修课程

微积分、线性代数

教 材

J.B.Conway, A Course in Functional Analysis, GTM96, Springer-Verlag, 1985.
            欧文?克雷斯齐格, 泛函分析导论及应用。

主要内容

第一章 集合与运算  集合和运算;映射和势。
第二章 测度与可测函数  集类;测度;Lebesgue测度;可测函数;可测函数列的收敛性。
第三章 Lebesgue积分  Lebesgue积分及其性质;积分的极限定理;重积分与累次积分。
(上述三章内容是实变函数内容同时为泛函分析中介绍函数空间做准备工作共6学时,教学重点和难点:势,积分的极限定理)
第四章 度量空间  度量;开集和闭集;收敛列;Cauchy列;完备性。
(4学时, 教学重点和难点: Cauchy列,完备度量空间)
第五章 Hilbert空间  内积;Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式;Hilbert空间直和分解;正交投影算子;Riesz表示定理;Lax-Milgram定理;标准正交集合;Bessel’s不等式;Parseval’s等式; Hilbert空间标准正交基;Hilbert空间标准正交基和Hamel基关系;Hilbert伴随算子。
(15学时,教学重点和难点: 标准正交集合,Lax-Milgram定理)
第六章 Banach空间  范数;赋范空间上的线性连续算子及其范数;有限维赋范空间的特征;Riesz引理;无限维赋范空间的特征;商空间;Banach空间直和分解;Hahn-Banach定理及其应用;Hahn-Banach定理的几何形式;开映射定理;逆映射定理;闭图像定理;一致有界性定理;不动点定理;自反赋范空间。 
(20学时,教学重点和难点: Hahn-Banach定理)
第七章 Lp空间  P次可积函数空间及其相关性质。
(5学时,教学重点和难点:P次可积函数空间是基本的函数空间,它的性质要了解)

参考文献

1.张恭庆,郭懋正,《泛函分析讲义》,北京大学出版社,北京,1990。 
2.夏道行等,《泛函分析第二教程》,高等教育出版社,北京。